Para expresar la fuerza relativa de un astro o de un aspecto en el contexto de una carta astral se ha acuñado modernamente el término astrodina. Los procedimientos empleados para determinar el número de astrodinas que corresponde a cada planeta o aspecto son bastante arbitrarios y pueden variar de un autor a otro, aunque, en general, siguen de cerca la lógica de la teoría de las dignidades planetarias de Ptolomeo y de la división tradicional de aspectos en mayores y menores, benéficos y maléficos.
Por otra parte, para determinar la fuerza relativa de un armónico en una carta astral se han ideado los armogramas (O'Neill, García) y las funciones de onda planetaria, popularizadas por M.García y T.Maciá bajo el nombre de flores armónicas. Estas funciones asignan un peso (la medida de un vector) a cada armónico dentro de una carta astral por un procedimiento matemático riguroso y mejor definido que el que se usa en el cálculo de astrodinas. Podemos aplicar el término armodinas a los valores numéricos que las "flores armónicas" asignan a cada uno de los armónicos.
Pero también podemos hacer un uso más amplio de esta palabra y contemplar otras posibles acepciones. En el año 2003 puse en circulación una utilidad para el cálculo de fechas de direcciones simbólicas de clave armónica que iba acompañada de una Tabla de Armodinas. Esta tabla asigna un peso estimado a cada una de las 3600 primeras claves de dirección en base a dos procedimientos:
- El recuento de divisores enteros o submúltiplos de cada clave.
- El cálculo del número de pares de claves cuya velocidad relativa es igual a la de una clave dada.
Enseguida daré más detalles sobre estos dos procedimientos, pero antes debo explicar por qué razón apliqué el término armodinas al peso estimado de una clave de dirección simbólica.
Las direcciones simbólicas de clave armónica son aquellas cuya cantidad de movimiento anual coincide con el resultado de la división del círculo por un número entero. Los armónicos se derivan igualmente de la división del círculo por un número entero. Así, por ejemplo, si dividimos los 360 grados del círculo por 5 obtenemos sectores de 72 grados. Las direcciones de clave armónica 5 son aquellas que hacen avanzar cada planeta o punto de una carta natal a razón de 72 grados por año, completando un ciclo en 5 años. Por su parte, una carta del armónico 5 divide el zodiaco mayor de 360 grados en 5 zodiacos menores de 72 grados cada uno. El Sol en tránsito recorre el zodiaco mayor en un año y el Sol dirigido por la clave armónica 5 recorre el espacio de 72 grados de un zodiaco menor del armónico 5 igualmente en un año.
Sin embargo, a pesar de las correspondencias señaladas, las direcciones simbólicas no usan cartas armónicas propiamente dichas, sino que se limitan a desplazar la carta natal a un ritmo derivado de una división armónica. Pero ya he demostrado en otro lugar que cada planeta aislado de una carta de dirección simbólica forma parte de otra carta armónica propiamente dicha, que se obtiene a partir de la fórmula:
(1) un ciclo armónico (de un planeta dado) = un ciclo astronómico (compuesto de un número entero de años)
Para más detalles, véase El engranaje microcósmico, donde esto se desarrolla con ejemplos.
Dado que (1) es la fórmula general de los armónicos dinámicos, a nadie debe extrañar que aplique el término armodinas a los resultados de ciertos procedimientos matemáticos que tratan de medir la fuerza relativa de cada una de las divisiones armónicas y sus ciclos asociados. Para tal fin he usado los dos procedimientos mencionados más arriba. El primero (cálculo de divisores) guarda cierta semejanza con las técnicas de prognosis que, por así decirlo, congelan ciertos instantes del tiempo y toman las configuraciones de los astros de esos instantes como referencia válida para todo un periodo. Así se hace, por ejemplo, en las revoluciones solares, donde las posiciones de todos los planetas en el momento en que el Sol retorna al lugar que ocupaba en la carta natal se toman como un referente válido para todo un año. En otro lugar ( Nuevas ideas sobre revoluciones, tránsitos y otros métodos de prognosis ) me he referido a estas técnicas de prognosis que efectúan cortes en el tiempo a intervalos más o menos regulares como modalidades discretas, por oposición a aquellas en las que el tiempo se toma como un flujo continuo (tránsitos, progresiones, direcciones) a las que califico de modalidades continuas. El cálculo de pares equivalentes es asimilable a las modalidades continuas de las técnicas de prognosis.
1. Cálculo de divisores
Si el número de años de un ciclo c tiene divisores enteros, entonces cada vez que un ciclo c se complete también lo hará cualquier otro ciclo cuya duración sea un submúltiplo entero de c. Tomemos, por ejemplo, el ciclo de 12 años como medida de dirección simbólica. El día en que una persona cumple 12 años los planetas dirigidos por la clave armónica 12 vuelven a ocupar las mismas posiciones que tenían en la carta natal por primera vez desde el nacimiento. Ahora bien, 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4 y por 6. En el día del 12º cumpleaños los planetas dirigidos por la clave armónica 6 también vuelven a ocupar sus posiciones originales por segunda vez desde el nacimiento; por la clave armónica 4 lo harán por tercera vez, por la clave 3 lo harán por cuarta vez, por la 2 por sexta vez y por la 1 por décimo segunda vez. Tenemos pues la convergencia de seis claves diferentes en un mismo día, reforzándose unas a otras. Pero como las posiciones de los planetas en ese día consideradas por todas estas claves de dirección son las mismas que las de la carta natal, este aumento de intensidad no va acompañado de ninguna dirección significativa.
Las diferentes claves cuyos periodos asociados caben un número entero de veces en el periodo de otra mayor forman con ésta un conjunto de direcciones articuladas que convergen exactamente cada vez que se completa el periodo mayor, pero que también están relacionadas en otros momentos. La primera vez que se completa un ciclo por la clave 6 todos los planetas dirigidos por esta clave están en conjunción con sus posiciones radicales, pero, al mismo tiempo, están en oposición con sus propias posiciones radicales por la clave 12. Cuando se completa el primer ciclo por la clave 4, los planetas están en conjunción con sus propias posiciones por esta clave, pero por la claves 6 y 12 están en trígono. En estos casos, coincide la fecha y hora exacta de los aspectos por diferentes claves, pero no se trata de los mismos aspectos. Además, estas coincidencias, totales o parciales, se producen a ciertos intervalos fijos de tiempo, en días muy determinados, y no se dan el resto del tiempo. En esto se asemejan a las modalidades discretas de las técnicas de prognosis. Por último, las direcciones que participan en este juego de resonancias periódicas se dan sólo entre cada planeta dirigido y su propia posición radical, pero no entre dos planetas diferentes.
En principio, podemos asignar a cada clave de dirección un peso directamente proporcional al número de sus divisores enteros, porque cuanto mayor sea este número más serán los ciclos entrelazados en un mismo juego de resonancias. Pero este criterio no es muy fuerte, debido a las limitaciones señaladas en el párrafo anterior. Hay, sin embargo, otro criterio bastante más poderoso, que no se ve afectado por ninguna de esas limitaciones: el cálculo de pares equivalentes, del que nos ocupamos a continuación.
2. Equivalencia de pares
Consideremos un sencillo ejemplo de matemáticas de primaria. Tres vehículos salen de Madrid al mismo tiempo, por la misma carretera y en la misma dirección. El primero es un automóvil que circula a una velocidad constante de 120 kilómetros por hora, el segundo es una motocicleta que circula a 90 kilómetros por hora, y el tercero es una bicicleta que avanza a 30 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad avanza el automóvil en relación a la motocicleta y en relación a la bicicleta? Para saberlo sólo tenemos que restar sus velocidades. El automóvil recorre cada hora 30 kilómetros más que la motocicleta y 90 kilómetros más que la bicicleta. Por tanto, la velocidad del coche en relación a la moto es la misma que la velocidad de la bicicleta en relación a Madrid, que es el punto de partida idealmente inmóvil. Y la velocidad del coche en relación a la bicicleta es la misma que la velocidad de la moto en relación a Madrid.
Todo movimiento es relativo a un punto de referencia. Por eso podemos decir que motocicleta/automóvil es un sistema dinámico equivalente a Madrid/bicicleta, y que bicicleta/automóvil es un sistema dinámico equivalente a Madrid/motocicleta
Si en lugar de Madrid tomamos una carta natal como punto de referencia, en lugar de los tres vehículos tomamos los planetas de esa misma carta natal moviéndose por las claves armónicas de dirección 3, 4 y 12 respectivamente, y en lugar de la carretera tomamos el zodiaco, podremos decir que el par de claves 4-3 es equivalente al par Radix-12 o a la clave 12 sin más, y que el par de claves 12-3 es equivalente al par Radix-4 o a la clave 4 sin más. El paralelismo es exacto porque los planetas dirigidos por la clave 3 se mueven 120 grados por año, dirigidos por la clave 4 se mueven 90 grados por año y por la clave 12 avanzan 30 grados por año.
Por tanto, un par equivalente a una clave armónica dada es cualquier pareja de claves cuya velocidad relativa sea la misma que la de esa clave respecto al radix.
Las ventajas de este criterio sobre el anterior cómputo de divisores son obvias. Las coincidencias de aspectos entre una clave y el radix, por un lado, y las dos claves que integran un par equivalente, por el otro, son continuas, no se restringen a unas fechas determinadas, sino que se mantienen todo el tiempo y no se limitan a relaciones de los planetas con sus propias posiciones radicales sino que afectan a todas las combinaciones posibles de planetas, distintos o no. Si por la clave 12 un planeta ha alcanzado el grado del Medio Cielo natal, entonces ese mismo planeta dirigido por la clave 3 habrá alcanzado el grado del Medio Cielo dirigido por la clave 4. El mismo aspecto produciéndose por dos o más vías diferentes al mismo tiempo tiene muchas más posibilidades de traducirse en un hecho concreto que si sólo se da por una de ellas.
Por tanto, podemos asignar a cada clave de dirección un peso directamente proporcional al número de sus pares equivalentes, porque cuanto mayor sea este número más veces se estará repitiendo cada dirección al mismo tiempo y mayor será la probabilidad de que se traduzca en algo observable.
Además, los pares equivalentes a una clave dada pueden también anidarse con ella y entre sí, formando cadenas de contactos entrelazados. Esto sucede cuando una misma clave de dirección forma parte de dos pares equivalentes diferentes, en un caso como clave más rápida y en el otro como clave más lenta. Veamos un ejemplo.
Si alguien hubiera nacido el 7 de diciembre de 1930 a las 11h 16m 22s GMT tendría su Mercurio natal a 0º 53' de Capricornio y su Saturno natal a 10º 53' de Capricornio. Hay exactamente 10 grados de distancia entre los dos planetas. La clave armónica 2520 mueve los planetas a razón de un grado cada siete años. Por esta clave, 10 grados son 70 años. Por tanto, a los 70 años se hará exacta la dirección Mercurio C-2520 conjunción Saturno natal. Pero exactamente a esa misma edad se hará también exacta la dirección Mercurio C-1260 conjunción Saturno C-2520. Estas dos direcciones comparten una misma clave, la 2520, en dos posiciones diferentes: primero como clave más rápida que forma la dirección, segundo como clave más lenta que la recibe.
La secuencia continúa enlazando las claves 2520, 1260, 840, 630, 504, 420, 360, 315, 280 y 252, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
Todas las claves que participan en este anidamiento son submúltiplos de 2520 y este es un ejemplo que muestra de qué forma están íntimamente relacionados los dos criterios propuestos: las armodinas de divisores y las de equivalencia de pares.
La clave armónica 1 no tiene ningún par equivalente, pero todas las demás claves armónicas tienen al menos un par equivalente formado por otras dos claves armónicas. Las que definen ciclos que constan de un número primo de años sólo tienen un par equivalente, pero hay otras que pasan del centenar. Dentro del rango de las 3600 primeras claves, la que acumula mayor número de pares equivalentes es la 2520, que tiene 157. La media es de 14 pares equivalentes por clave, aunque la mayor parte se acumula en las claves altas.
Se pueden plantear, no obstante, algunas dudas en relación con este criterio. En primer lugar, nadie ha demostrado todavía que todas las claves derivadas de la división del círculo por un número entero sean operativas, ni nadie podrá demostrarlo nunca, ya que los números enteros son infinitos. A medida que avanzamos hacia claves más altas, el movimiento anual es cada vez más lento, lo cual tiene varias consecuencias desafortunadas. Una es que cada vez son menos los aspectos que se pueden producir en el lapso de una vida humana; otra es que, a menos que suprimamos los orbes , las direcciones de varias claves adyacentes se solapan en el tiempo. Si mantenemos orbes, por pequeños que sean, las direcciones de las claves muy altas se dilatan por tanto tiempo que no es posible relacionarlas con un acontecimiento más que con otro cualquiera. Ahora bien, sabemos que el ser humano tiene umbrales de percepción que no le permiten captar cambios ni por encima ni por debajo de esos umbrales. Es más que probable que sólo podamos reaccionar ante direcciones dentro de un cierto rango de velocidades. El problema es que no sabemos cuál es ese rango, ni si hay diferencias individuales al respecto, y, por tanto, no podemos saber cuántos pares equivalentes quedan dentro y cuántos fuera de rango.
Tampoco es una práctica habitual confrontar dos claves diferentes entre sí, ya que se suele sobrentender que las direcciones del tipo que sean sólo se aplican sobre el radix y no las unas sobre las otras. Ya he respondido por extenso a esta objeción en otro lugar (v. El Radix Dinámico ). Baste aquí recordar que las direcciones de clave armónica no representan una interacción entre una carta natal y un estado posterior de los planetas en el cielo, como sucede con los tránsitos, las revoluciones o las progresiones. Las direcciones de clave armónica no son otra cosa que el propio radix vibrando en diferentes longitudes de onda que se expanden a través del tiempo y se interpenetran de diversas maneras.
3. Cálculo de pares equivalentes
Para toda clave armónica c de velocidad v (siendo v = 360 / c) buscaremos así sus pares equivalentes positivos:
Desde r = 1 hasta r = c - 1
p = 360 / ((360 / r) - v)
Cada vez que p sea un número entero positivo entonces p, r será un par equivalente válido de c
Esta fórmula nos permite establecer con precisión el número exacto de pares equivalentes para cualquier clave armónica, pero tiene el inconveniente de que requiere un número exageradamente alto de comprobaciones. Si nos limitamos a las 3600 primeras claves, para establecer los pares equivalentes de todas ellas deberíamos efectuar cerca de seis millones y medio de comprobaciones. Pero esta clase de tareas rutinarias que requerirían años de trabajo para un viejo contable de papel y lápiz son las que los ordenadores resuelven impecablemente en cuestión de segundos. La Tabla de Armodinas a la que me he referido más arriba es un listado generado por ordenador que contiene tanto el total de divisores enteros de cada una de las 3600 primeras claves como el número exacto de sus pares equivalentes. La información se muestra acompañada de un diagrama de barras en modo texto que permite identificar de un vistazo las claves más potentes, de acuerdo a los dos criterios señalados.
Estos criterios, sin embargo, son meramente cuantitativos y abstractos. Operan sobre el supuesto de que, en principio, cualquier clave tiene el mismo peso específico que cualquier otra. Después, al estudiar la forma en que se relacionan unas con otras, estos pesos se modifican o, para decirlo con más propiedad, se complementan con otros pesos añadidos (divisores y pares). Pero estos pesos añadidos no nos dicen nada sobre la fuerza intrínseca de la clave por sí misma, sino que son medidas de la fuerza de su conexión con otras claves.
En caso de que realmente distintas claves consideradas por sí mismas, con independencia de su juego de relaciones con otras claves, tengan pesos diferentes, estos pesos deberían modular y modificar el cálculo de armodinas de quivalencia de pares. Si algunos pares tienen más peso que otros no bastaría con contarlos, ni tampoco deberíamos incluir aquellos que estén fuera de nuestros umbrales de percepción.
A todo esto se añade la posibilidad -como parece ser el caso- de que cada clave esté relacionada específicamente con un ámbito propio de cuestiones, es decir, que tenga una identidad propia, una dimensión cualitativa. En ese caso, una misma clave puede tener un peso mayor o menor dependiendo de la cuestión con la que la estemos relacionando.
4. Familias cualitativas de claves armónicas
Toda oposición exacta presente en una carta natal se transforma en una conjunción en su armónico 2, pero también en todos los demás armónicos múltiplos de 2. Los trígonos exactos se transforman en conjunciones en el armónico 3, pero también en todos los armónicos múltiplos de 3. Las cuadraturas son conjunciones en el armónico 4 y en todos los múltiplos de 4. Los quintiles lo son en el 5 y en todos sus múltiplos... y así sucesivamente.
Por consiguiente, todas las divisiones armónicas que forman parte de una misma cadena de múltiplos tienen algo en común y participan de un significado común. Si conocemos el significado del número que preside una división armónica podemos empezar a colorear con esas características las claves basadas en ese número o en cualquiera de sus múltiplos. Podemos hacernos una primera idea de esos significados estudiando los trabajos de David Hamblin que traduje y publiqué en este mismo blog en los meses de julio a septiembre de 2010. También podemos enfrascarnos en el estudio de los textos pitagóricos sobre las cualidades de los números. Esto puede proporcionarnos algunas orientaciones iniciales, pero sólo la observación sistemática y continuada de muchos casos concretos podrá esclarecer poco a poco cómo funcionan las cosas en realidad. Para guiarnos en esa búsqueda empírica de resultados necesitamos algo más que especulaciones numerológicas y tablas de armodinas. Necesitamos saber cómo se agrupan y relacionan las diferentes claves en familias cualitativas. La tabla de armodinas nos dice cuántos submultiplos y pares equivalentes tiene cada una de las claves, pero no nos dice cuáles son. Para saber con qué cadenas de múltiplos está relacionada una clave determinada tenemos que adentrarnos en la relación completa de sus submúltiplos. Esto podemos hacerlo con la Calculadora de Armodinas en Direcciones de Clave Armónica, que es una aplicación que he diseñado como herramienta auxiliar que completa la información proporcionada por la Tabla de Armodinas. Saber de qué otros números enteros es múltiplo una clave determinada nos puede dar algunas pistas sobre su naturaleza, pero en la mayoría de los casos esto no nos ayudará mucho, Consideremos, por ejemplo, la clave 2520. Con ayuda de la Calculadora de Armodinas obtenemos el listado completo de sus divisores, que es el que se muestra en la imagen:
Esta clave es múltiplo de 1, de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8, de 9, de 10 ... y de otros 37 números enteros. Si participa de la naturaleza de todos ellos sus características deben ser bastante indefinidas y confusas. Hay, sin embargo, una forma de organizar las cadenas de múltiplos de tal manera que no se crucen en ningún punto, lo que permite asignar cada clave a una única cadena y remitirla a una raíz única. Se trata de las cadenas de duplicación, que tienen, además, una curiosa y estrecha relación con la forma en que progresa el número de pares equivalentes desde las claves más rápidas hasta las más lentas.
5. Cadenas de duplicación
Hay una secuencia de números conocida desde la antigüedad con el nombre de pares/pares que se obtiene a partir de la duplicación sucesiva de cada número de la serie, partiendo del 1. Se obtiene así una progresión geométrica muy conocida en el mundo de la informática por su vinculación con el sistema binario de numeración: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096 ... etcétera. Si calculamos los pares equivalentes para cada una de las claves armónicas denominadas por los números de esta serie obtendremos un resultado sorprendente: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... etcétera. Cada vez que duplicamos una clave de esta serie el número de pares equivalentes se incrementa en una unidad. Dicho de otra manera, para cada clave de esta serie su número de pares equivalentes coincide con el número de veces que se ha duplicado la unidad. Una progresión aritmética de pares equivalentes corre paralela a la progresión geométrica de sus claves asociadas.
Si procedemos a la inversa, partiendo de cualquier número entero divisible por 2 y aplicándole sucesivas divisiones por 2 hasta que ya no sea posible dividirlo más, al final desembocaremos siempre en un número impar. A este número impar podemos denominarlo como la raíz de duplicación del número del que partimos y de todos los demás números pares de la misma serie. De este modo, todo número impar será la raíz de una cadena de duplicación y todo número par formará parte de una cadena de duplicación y sólo de una definida por su raíz.
Cualquier cadena de duplicación, sea cual sea su raíz, constituye una progresión geométrica que lleva asociada en todos los casos una progresión aritmética de sus pares equivalentes. En el caso de la serie de pares/pares, cuya raíz de duplicación es el 1, el valor de incremento de la progresión aritmética del número de pares equivalentes es también 1, pero en las demás cadenas de duplicación los pares equivalentes asociados tienen un valor de incremento mayor. Cuando una raíz de duplicación es un número primo, sus pares asociados se incrementan en tres unidades por paso. En los demás casos, los incrementos son mayores. Así, por ejemplo, la clave 15 tiene 4 pares equivalentes y su doble, la clave 30, tiene 13 pares equivalentes. La diferencia es de 9 pares equivalentes, que será el valor de incremento de toda la serie. Por tanto, la cadena de duplicación de raíz 15 da lugar a la progresión geométrica: 15, 30, 60, 120, 240, 480, 960, 1920... etcétera, que va acompañada de la progresión arítmética: 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, ... etcétera.
Si cada vez que duplicamos una clave su número de pares equivalentes crece, es evidente que entre las claves más altas hallaremos las mayores concentraciones de pares equivalentes. Por eso no es buena idea comparar directamente dos claves muy alejadas entre sí, sino que debemos valorar la potencia de cada clave en relación con las claves más próximas.
Las cadenas de duplicación nos permiten remitir cada clave a una raíz única, pero hay tantas raices como números impares. No podemos atribuir a cada número impar una naturaleza cualitativa diferente, porque los números impares son también infinitos. Pero sí podemos tratar de hacer eso con unos pocos números impares seleccionados entre los más bajos. En particular, es de esperar que todo número primo inaugure un nuevo ámbito de significación, pero precisamente los números primos son los que dan lugar al menor crecimiento de pares. Esto significa que apenas se relacionan con el resto de las claves y, en ese sentido, se las puede comparar con los denominados "planetas ferales", que son aquellos planetas que no forman aspectos con los demás planetas de una carta astral.
© 2013, Julián García Vara.
Sin embargo, a pesar de las correspondencias señaladas, las direcciones simbólicas no usan cartas armónicas propiamente dichas, sino que se limitan a desplazar la carta natal a un ritmo derivado de una división armónica. Pero ya he demostrado en otro lugar que cada planeta aislado de una carta de dirección simbólica forma parte de otra carta armónica propiamente dicha, que se obtiene a partir de la fórmula:
(1) un ciclo armónico (de un planeta dado) = un ciclo astronómico (compuesto de un número entero de años)
Para más detalles, véase El engranaje microcósmico, donde esto se desarrolla con ejemplos.
Dado que (1) es la fórmula general de los armónicos dinámicos, a nadie debe extrañar que aplique el término armodinas a los resultados de ciertos procedimientos matemáticos que tratan de medir la fuerza relativa de cada una de las divisiones armónicas y sus ciclos asociados. Para tal fin he usado los dos procedimientos mencionados más arriba. El primero (cálculo de divisores) guarda cierta semejanza con las técnicas de prognosis que, por así decirlo, congelan ciertos instantes del tiempo y toman las configuraciones de los astros de esos instantes como referencia válida para todo un periodo. Así se hace, por ejemplo, en las revoluciones solares, donde las posiciones de todos los planetas en el momento en que el Sol retorna al lugar que ocupaba en la carta natal se toman como un referente válido para todo un año. En otro lugar ( Nuevas ideas sobre revoluciones, tránsitos y otros métodos de prognosis ) me he referido a estas técnicas de prognosis que efectúan cortes en el tiempo a intervalos más o menos regulares como modalidades discretas, por oposición a aquellas en las que el tiempo se toma como un flujo continuo (tránsitos, progresiones, direcciones) a las que califico de modalidades continuas. El cálculo de pares equivalentes es asimilable a las modalidades continuas de las técnicas de prognosis.
1. Cálculo de divisores
Si el número de años de un ciclo c tiene divisores enteros, entonces cada vez que un ciclo c se complete también lo hará cualquier otro ciclo cuya duración sea un submúltiplo entero de c. Tomemos, por ejemplo, el ciclo de 12 años como medida de dirección simbólica. El día en que una persona cumple 12 años los planetas dirigidos por la clave armónica 12 vuelven a ocupar las mismas posiciones que tenían en la carta natal por primera vez desde el nacimiento. Ahora bien, 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4 y por 6. En el día del 12º cumpleaños los planetas dirigidos por la clave armónica 6 también vuelven a ocupar sus posiciones originales por segunda vez desde el nacimiento; por la clave armónica 4 lo harán por tercera vez, por la clave 3 lo harán por cuarta vez, por la 2 por sexta vez y por la 1 por décimo segunda vez. Tenemos pues la convergencia de seis claves diferentes en un mismo día, reforzándose unas a otras. Pero como las posiciones de los planetas en ese día consideradas por todas estas claves de dirección son las mismas que las de la carta natal, este aumento de intensidad no va acompañado de ninguna dirección significativa.
Las diferentes claves cuyos periodos asociados caben un número entero de veces en el periodo de otra mayor forman con ésta un conjunto de direcciones articuladas que convergen exactamente cada vez que se completa el periodo mayor, pero que también están relacionadas en otros momentos. La primera vez que se completa un ciclo por la clave 6 todos los planetas dirigidos por esta clave están en conjunción con sus posiciones radicales, pero, al mismo tiempo, están en oposición con sus propias posiciones radicales por la clave 12. Cuando se completa el primer ciclo por la clave 4, los planetas están en conjunción con sus propias posiciones por esta clave, pero por la claves 6 y 12 están en trígono. En estos casos, coincide la fecha y hora exacta de los aspectos por diferentes claves, pero no se trata de los mismos aspectos. Además, estas coincidencias, totales o parciales, se producen a ciertos intervalos fijos de tiempo, en días muy determinados, y no se dan el resto del tiempo. En esto se asemejan a las modalidades discretas de las técnicas de prognosis. Por último, las direcciones que participan en este juego de resonancias periódicas se dan sólo entre cada planeta dirigido y su propia posición radical, pero no entre dos planetas diferentes.
En principio, podemos asignar a cada clave de dirección un peso directamente proporcional al número de sus divisores enteros, porque cuanto mayor sea este número más serán los ciclos entrelazados en un mismo juego de resonancias. Pero este criterio no es muy fuerte, debido a las limitaciones señaladas en el párrafo anterior. Hay, sin embargo, otro criterio bastante más poderoso, que no se ve afectado por ninguna de esas limitaciones: el cálculo de pares equivalentes, del que nos ocupamos a continuación.
2. Equivalencia de pares
Consideremos un sencillo ejemplo de matemáticas de primaria. Tres vehículos salen de Madrid al mismo tiempo, por la misma carretera y en la misma dirección. El primero es un automóvil que circula a una velocidad constante de 120 kilómetros por hora, el segundo es una motocicleta que circula a 90 kilómetros por hora, y el tercero es una bicicleta que avanza a 30 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad avanza el automóvil en relación a la motocicleta y en relación a la bicicleta? Para saberlo sólo tenemos que restar sus velocidades. El automóvil recorre cada hora 30 kilómetros más que la motocicleta y 90 kilómetros más que la bicicleta. Por tanto, la velocidad del coche en relación a la moto es la misma que la velocidad de la bicicleta en relación a Madrid, que es el punto de partida idealmente inmóvil. Y la velocidad del coche en relación a la bicicleta es la misma que la velocidad de la moto en relación a Madrid.
Todo movimiento es relativo a un punto de referencia. Por eso podemos decir que motocicleta/automóvil es un sistema dinámico equivalente a Madrid/bicicleta, y que bicicleta/automóvil es un sistema dinámico equivalente a Madrid/motocicleta
Si en lugar de Madrid tomamos una carta natal como punto de referencia, en lugar de los tres vehículos tomamos los planetas de esa misma carta natal moviéndose por las claves armónicas de dirección 3, 4 y 12 respectivamente, y en lugar de la carretera tomamos el zodiaco, podremos decir que el par de claves 4-3 es equivalente al par Radix-12 o a la clave 12 sin más, y que el par de claves 12-3 es equivalente al par Radix-4 o a la clave 4 sin más. El paralelismo es exacto porque los planetas dirigidos por la clave 3 se mueven 120 grados por año, dirigidos por la clave 4 se mueven 90 grados por año y por la clave 12 avanzan 30 grados por año.
Por tanto, un par equivalente a una clave armónica dada es cualquier pareja de claves cuya velocidad relativa sea la misma que la de esa clave respecto al radix.
Las ventajas de este criterio sobre el anterior cómputo de divisores son obvias. Las coincidencias de aspectos entre una clave y el radix, por un lado, y las dos claves que integran un par equivalente, por el otro, son continuas, no se restringen a unas fechas determinadas, sino que se mantienen todo el tiempo y no se limitan a relaciones de los planetas con sus propias posiciones radicales sino que afectan a todas las combinaciones posibles de planetas, distintos o no. Si por la clave 12 un planeta ha alcanzado el grado del Medio Cielo natal, entonces ese mismo planeta dirigido por la clave 3 habrá alcanzado el grado del Medio Cielo dirigido por la clave 4. El mismo aspecto produciéndose por dos o más vías diferentes al mismo tiempo tiene muchas más posibilidades de traducirse en un hecho concreto que si sólo se da por una de ellas.
Por tanto, podemos asignar a cada clave de dirección un peso directamente proporcional al número de sus pares equivalentes, porque cuanto mayor sea este número más veces se estará repitiendo cada dirección al mismo tiempo y mayor será la probabilidad de que se traduzca en algo observable.
Además, los pares equivalentes a una clave dada pueden también anidarse con ella y entre sí, formando cadenas de contactos entrelazados. Esto sucede cuando una misma clave de dirección forma parte de dos pares equivalentes diferentes, en un caso como clave más rápida y en el otro como clave más lenta. Veamos un ejemplo.
Si alguien hubiera nacido el 7 de diciembre de 1930 a las 11h 16m 22s GMT tendría su Mercurio natal a 0º 53' de Capricornio y su Saturno natal a 10º 53' de Capricornio. Hay exactamente 10 grados de distancia entre los dos planetas. La clave armónica 2520 mueve los planetas a razón de un grado cada siete años. Por esta clave, 10 grados son 70 años. Por tanto, a los 70 años se hará exacta la dirección Mercurio C-2520 conjunción Saturno natal. Pero exactamente a esa misma edad se hará también exacta la dirección Mercurio C-1260 conjunción Saturno C-2520. Estas dos direcciones comparten una misma clave, la 2520, en dos posiciones diferentes: primero como clave más rápida que forma la dirección, segundo como clave más lenta que la recibe.
La secuencia continúa enlazando las claves 2520, 1260, 840, 630, 504, 420, 360, 315, 280 y 252, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
Todas las claves que participan en este anidamiento son submúltiplos de 2520 y este es un ejemplo que muestra de qué forma están íntimamente relacionados los dos criterios propuestos: las armodinas de divisores y las de equivalencia de pares.
La clave armónica 1 no tiene ningún par equivalente, pero todas las demás claves armónicas tienen al menos un par equivalente formado por otras dos claves armónicas. Las que definen ciclos que constan de un número primo de años sólo tienen un par equivalente, pero hay otras que pasan del centenar. Dentro del rango de las 3600 primeras claves, la que acumula mayor número de pares equivalentes es la 2520, que tiene 157. La media es de 14 pares equivalentes por clave, aunque la mayor parte se acumula en las claves altas.
Se pueden plantear, no obstante, algunas dudas en relación con este criterio. En primer lugar, nadie ha demostrado todavía que todas las claves derivadas de la división del círculo por un número entero sean operativas, ni nadie podrá demostrarlo nunca, ya que los números enteros son infinitos. A medida que avanzamos hacia claves más altas, el movimiento anual es cada vez más lento, lo cual tiene varias consecuencias desafortunadas. Una es que cada vez son menos los aspectos que se pueden producir en el lapso de una vida humana; otra es que, a menos que suprimamos los orbes , las direcciones de varias claves adyacentes se solapan en el tiempo. Si mantenemos orbes, por pequeños que sean, las direcciones de las claves muy altas se dilatan por tanto tiempo que no es posible relacionarlas con un acontecimiento más que con otro cualquiera. Ahora bien, sabemos que el ser humano tiene umbrales de percepción que no le permiten captar cambios ni por encima ni por debajo de esos umbrales. Es más que probable que sólo podamos reaccionar ante direcciones dentro de un cierto rango de velocidades. El problema es que no sabemos cuál es ese rango, ni si hay diferencias individuales al respecto, y, por tanto, no podemos saber cuántos pares equivalentes quedan dentro y cuántos fuera de rango.
Tampoco es una práctica habitual confrontar dos claves diferentes entre sí, ya que se suele sobrentender que las direcciones del tipo que sean sólo se aplican sobre el radix y no las unas sobre las otras. Ya he respondido por extenso a esta objeción en otro lugar (v. El Radix Dinámico ). Baste aquí recordar que las direcciones de clave armónica no representan una interacción entre una carta natal y un estado posterior de los planetas en el cielo, como sucede con los tránsitos, las revoluciones o las progresiones. Las direcciones de clave armónica no son otra cosa que el propio radix vibrando en diferentes longitudes de onda que se expanden a través del tiempo y se interpenetran de diversas maneras.
Para toda clave armónica c de velocidad v (siendo v = 360 / c) buscaremos así sus pares equivalentes positivos:
Desde r = 1 hasta r = c - 1
p = 360 / ((360 / r) - v)
Cada vez que p sea un número entero positivo entonces p, r será un par equivalente válido de c
Esta fórmula nos permite establecer con precisión el número exacto de pares equivalentes para cualquier clave armónica, pero tiene el inconveniente de que requiere un número exageradamente alto de comprobaciones. Si nos limitamos a las 3600 primeras claves, para establecer los pares equivalentes de todas ellas deberíamos efectuar cerca de seis millones y medio de comprobaciones. Pero esta clase de tareas rutinarias que requerirían años de trabajo para un viejo contable de papel y lápiz son las que los ordenadores resuelven impecablemente en cuestión de segundos. La Tabla de Armodinas a la que me he referido más arriba es un listado generado por ordenador que contiene tanto el total de divisores enteros de cada una de las 3600 primeras claves como el número exacto de sus pares equivalentes. La información se muestra acompañada de un diagrama de barras en modo texto que permite identificar de un vistazo las claves más potentes, de acuerdo a los dos criterios señalados.
Estos criterios, sin embargo, son meramente cuantitativos y abstractos. Operan sobre el supuesto de que, en principio, cualquier clave tiene el mismo peso específico que cualquier otra. Después, al estudiar la forma en que se relacionan unas con otras, estos pesos se modifican o, para decirlo con más propiedad, se complementan con otros pesos añadidos (divisores y pares). Pero estos pesos añadidos no nos dicen nada sobre la fuerza intrínseca de la clave por sí misma, sino que son medidas de la fuerza de su conexión con otras claves.
En caso de que realmente distintas claves consideradas por sí mismas, con independencia de su juego de relaciones con otras claves, tengan pesos diferentes, estos pesos deberían modular y modificar el cálculo de armodinas de quivalencia de pares. Si algunos pares tienen más peso que otros no bastaría con contarlos, ni tampoco deberíamos incluir aquellos que estén fuera de nuestros umbrales de percepción.
A todo esto se añade la posibilidad -como parece ser el caso- de que cada clave esté relacionada específicamente con un ámbito propio de cuestiones, es decir, que tenga una identidad propia, una dimensión cualitativa. En ese caso, una misma clave puede tener un peso mayor o menor dependiendo de la cuestión con la que la estemos relacionando.
4. Familias cualitativas de claves armónicas
Toda oposición exacta presente en una carta natal se transforma en una conjunción en su armónico 2, pero también en todos los demás armónicos múltiplos de 2. Los trígonos exactos se transforman en conjunciones en el armónico 3, pero también en todos los armónicos múltiplos de 3. Las cuadraturas son conjunciones en el armónico 4 y en todos los múltiplos de 4. Los quintiles lo son en el 5 y en todos sus múltiplos... y así sucesivamente.
Por consiguiente, todas las divisiones armónicas que forman parte de una misma cadena de múltiplos tienen algo en común y participan de un significado común. Si conocemos el significado del número que preside una división armónica podemos empezar a colorear con esas características las claves basadas en ese número o en cualquiera de sus múltiplos. Podemos hacernos una primera idea de esos significados estudiando los trabajos de David Hamblin que traduje y publiqué en este mismo blog en los meses de julio a septiembre de 2010. También podemos enfrascarnos en el estudio de los textos pitagóricos sobre las cualidades de los números. Esto puede proporcionarnos algunas orientaciones iniciales, pero sólo la observación sistemática y continuada de muchos casos concretos podrá esclarecer poco a poco cómo funcionan las cosas en realidad. Para guiarnos en esa búsqueda empírica de resultados necesitamos algo más que especulaciones numerológicas y tablas de armodinas. Necesitamos saber cómo se agrupan y relacionan las diferentes claves en familias cualitativas. La tabla de armodinas nos dice cuántos submultiplos y pares equivalentes tiene cada una de las claves, pero no nos dice cuáles son. Para saber con qué cadenas de múltiplos está relacionada una clave determinada tenemos que adentrarnos en la relación completa de sus submúltiplos. Esto podemos hacerlo con la Calculadora de Armodinas en Direcciones de Clave Armónica, que es una aplicación que he diseñado como herramienta auxiliar que completa la información proporcionada por la Tabla de Armodinas. Saber de qué otros números enteros es múltiplo una clave determinada nos puede dar algunas pistas sobre su naturaleza, pero en la mayoría de los casos esto no nos ayudará mucho, Consideremos, por ejemplo, la clave 2520. Con ayuda de la Calculadora de Armodinas obtenemos el listado completo de sus divisores, que es el que se muestra en la imagen:
Esta clave es múltiplo de 1, de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8, de 9, de 10 ... y de otros 37 números enteros. Si participa de la naturaleza de todos ellos sus características deben ser bastante indefinidas y confusas. Hay, sin embargo, una forma de organizar las cadenas de múltiplos de tal manera que no se crucen en ningún punto, lo que permite asignar cada clave a una única cadena y remitirla a una raíz única. Se trata de las cadenas de duplicación, que tienen, además, una curiosa y estrecha relación con la forma en que progresa el número de pares equivalentes desde las claves más rápidas hasta las más lentas.
5. Cadenas de duplicación
Hay una secuencia de números conocida desde la antigüedad con el nombre de pares/pares que se obtiene a partir de la duplicación sucesiva de cada número de la serie, partiendo del 1. Se obtiene así una progresión geométrica muy conocida en el mundo de la informática por su vinculación con el sistema binario de numeración: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096 ... etcétera. Si calculamos los pares equivalentes para cada una de las claves armónicas denominadas por los números de esta serie obtendremos un resultado sorprendente: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... etcétera. Cada vez que duplicamos una clave de esta serie el número de pares equivalentes se incrementa en una unidad. Dicho de otra manera, para cada clave de esta serie su número de pares equivalentes coincide con el número de veces que se ha duplicado la unidad. Una progresión aritmética de pares equivalentes corre paralela a la progresión geométrica de sus claves asociadas.
Si procedemos a la inversa, partiendo de cualquier número entero divisible por 2 y aplicándole sucesivas divisiones por 2 hasta que ya no sea posible dividirlo más, al final desembocaremos siempre en un número impar. A este número impar podemos denominarlo como la raíz de duplicación del número del que partimos y de todos los demás números pares de la misma serie. De este modo, todo número impar será la raíz de una cadena de duplicación y todo número par formará parte de una cadena de duplicación y sólo de una definida por su raíz.
Cualquier cadena de duplicación, sea cual sea su raíz, constituye una progresión geométrica que lleva asociada en todos los casos una progresión aritmética de sus pares equivalentes. En el caso de la serie de pares/pares, cuya raíz de duplicación es el 1, el valor de incremento de la progresión aritmética del número de pares equivalentes es también 1, pero en las demás cadenas de duplicación los pares equivalentes asociados tienen un valor de incremento mayor. Cuando una raíz de duplicación es un número primo, sus pares asociados se incrementan en tres unidades por paso. En los demás casos, los incrementos son mayores. Así, por ejemplo, la clave 15 tiene 4 pares equivalentes y su doble, la clave 30, tiene 13 pares equivalentes. La diferencia es de 9 pares equivalentes, que será el valor de incremento de toda la serie. Por tanto, la cadena de duplicación de raíz 15 da lugar a la progresión geométrica: 15, 30, 60, 120, 240, 480, 960, 1920... etcétera, que va acompañada de la progresión arítmética: 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, ... etcétera.
Si cada vez que duplicamos una clave su número de pares equivalentes crece, es evidente que entre las claves más altas hallaremos las mayores concentraciones de pares equivalentes. Por eso no es buena idea comparar directamente dos claves muy alejadas entre sí, sino que debemos valorar la potencia de cada clave en relación con las claves más próximas.
Las cadenas de duplicación nos permiten remitir cada clave a una raíz única, pero hay tantas raices como números impares. No podemos atribuir a cada número impar una naturaleza cualitativa diferente, porque los números impares son también infinitos. Pero sí podemos tratar de hacer eso con unos pocos números impares seleccionados entre los más bajos. En particular, es de esperar que todo número primo inaugure un nuevo ámbito de significación, pero precisamente los números primos son los que dan lugar al menor crecimiento de pares. Esto significa que apenas se relacionan con el resto de las claves y, en ese sentido, se las puede comparar con los denominados "planetas ferales", que son aquellos planetas que no forman aspectos con los demás planetas de una carta astral.
© 2013, Julián García Vara.
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