Juegos con números armónicos

En el tercer número de The Mutable Dilemma, correspondiente al segundo trimestre de 1978, Mark Pottenger publicó un artículo titulado Harmonic Number Games, cuya traducción al español se ofrece más abajo. Mark Pottenger, hijo de Zipporah Dobyns, colaboró con David Cochrane en el diseño de algunos módulos del programa astrológico Kepler, de Cosmic Patterns y se especializó en astronomía y filosofía. En el artículo que nos ocupa, aborda cuestiones relativas al cálculo de los armónicos, a las peculiaridades del movimiento de posiciones natales a través de armónicos sucesivos y a las posiciones situadas en algún punto entre dos armónicos, a las que se refiere con la expresión "factores de expansión". Estos "armónicos fraccionarios" abren la puerta a nuevas técnicas de predicción astrológica, tales como los armónicos de la edad, del arco solar, etc. Las últimas líneas, dedicadas a publicitar los servicios de una compañía de cálculos astrológicos, están obviamente obsoletas, ya que hoy disponemos de ordenadores personales y de programas astrológicos freeware con esos cálculos incorporados.

Juegos con números armónicos

Mark Pottenger

La definición física básica de un “armónico” es una oscilación cuya frecuencia es un múltiplo entero de una frecuencia fundamental. Tal como se usa en astrología, el ciclo fundamental es un círculo completo de 360º. El término ‘armónico’ entró en la astrología a través de los trabajos estadísticos de John Addey en Inglaterra. (John Nelson también usó esta palabra, pero en referencia a series de aspectos –algo totalmente distinto del tema de este artículo). La distribución de las posiciones zodiacales en una muestra puede ser representada gráficamente y analizada como las ondas físicas a las cuales la terminología armónica se aplica mejor. Si hay solamente un pico, se trata del ciclo fundamental de 360º —que también puede denominarse “el primer armónico”. Dos picos muestran el segundo armónico, tres el tercero, etc. (asumiendo que la distribución es uniforme –vista como una onda sinusoidal. Intervalos irregulares entre picos muestran combinaciones de armónicos). La naturaleza básica de los armónicos consiste en que completan algún número entero de ciclos en el mismo intervalo en que el ciclo fundamental se completa una vez.

Como se puede ver en los dibujos, los armónicos pueden representarse indistintamente en gráficos lineales o circulares. El número armónico puede ser visto bien como el número de picos (o de valles) o bien como el número de repeticiones de un ciclo. La longitud del ciclo está en proporción inversa al número armónico –cuanto más alto sea el número del armónico, más breve es el ciclo, para que puedan caber más repeticiones a lo largo del ciclo fundamental.

Nota: para el resto de este artículo daré las posiciones zodiacales en longitudes absolutas (hasta 360º) en lugar de en términos de signo, grado y minutos.

Los fenómenos básicos de repetición cíclica se trabajan en astrología de diferentes maneras. Un método es cortar el ciclo original de 360º en segmentos iguales y superponerlos. Esta es la propuesta de los “cuadrantes” (dials) alemanes y las “listas ordenadas” (sorts) americanas. La medida en grados de un ciclo viene dada por el armónico con el que estamos trabajando (por ejemplo, el armónico 4 = 360º/4=90º). Las posiciones del primer ciclo armónico se dejan como están. Las posiciones que sobrepasan la longitud del ciclo se reducen al rango deseado. Esto puede hacerse ya sea restando la longitud del ciclo o comenzando a contar desde cero al final del ciclo –ambas acciones son equivalentes. Cada vez que se completa un ciclo, se empieza a contar desde cero otra vez o se resta de nuevo la longitud del ciclo. Al terminar, todas las posiciones estarán entre cero y la longitud del ciclo en ese armónico. La lista ordenada resultante es una excelente herramienta para rastrear aspectos. Lo que en la carta original de 360º esté separado por la longitud del ciclo armónico estará en conjunción en la lista ordenada. Así, en una lista ordenada de 72º (armónico 5) todos los quintiles y biquintiles son conjunciones.

Si se hacen a mano bastantes listas ordenadas (especialmente aquellas con todos los puntos medios), ayuda tener una tabla con los grados y minutos en que termina cada ciclo (la cantidad a sustraer de las posiciones más allá de ese punto). Por ejemplo, el quinto armónico completa ciclos a 72º, 144º, 216º, 288º y 360º. Para obtener la lista ordenada, las posiciones por debajo de 72º se dejan como están, a las posiciones entre 72º y 144º hay que restarles 72º, a las comprendidas entre 144º y 216º hay que restarles 144º, y así sucesivamente.

Las posiciones de las listas ordenadas pueden también obtenerse con una calculadora. Si la longitud natal (L) está en grados y minutos conviértala a decimal. Divida 360º por el número del armónico (H) para obtener la medida exacta del ciclo armónico (360º/H = C). Divida la longitud por la medida del ciclo (L/C = Q). Reste la parte entera del cociente (Q – int[Q] = R). [Nota: int(x) significa “la parte entera de x”.] Multiplique el resto por la medida del ciclo (R*C = S). El resultado es la posición ordenada.

Si su calculadora no tiene memoria para almacenar la medida del ciclo tras un cálculo, una alternativa elimina esa necesidad. Multiplique la longitud natal por el número del armónico (L*H = A). Divida el resultado por 360 (A/360 = Q). Reste la parte entera del resultado (Q – int[Q] = R). Divida el resto por el número del armónico (R/H = B). Multiplique este resultado por 360 (B*360 = S). El resultado es la posición ordenada.

Lo crucial en las dos secuencias de arriba es restar la parte entera del cociente (Q). Esto es lo que elimina los ciclos armónicos extra y lleva la posición al rango apropiado. Las demás operaciones son primero obtener ese entero, y luego deshacer los cambios y volver a convertir a grados.

Resumamos los tres métodos de hacer listas ordenadas armónicas. A mano: Longitud – valor más cercano por debajo en la tabla de finales de ciclos = posición ordenada (L – TV = S). Calculadora con memoria: 360/número armónico = medida del ciclo (almacenar) (360/H=C). L/C= cociente (Q). Q – int(Q) = Resto (R). R*C=S. Calculadora sin memoria: L*H= resultado (A). A/360=Q. Q – int(Q)=R. R/H= resultado (B). B*360=S

Como puede verse por este resumen, usar una tabla es lo más fácil. Un breve ejemplo: 72º de Richard Nixon (armónico 5) posiciones ordenadas para Vesta y el nodo sur de la Luna (por tabla): Vesta (19 Sag 0) 259º – 216º = 43º. Nodo Sur (7 Lib 15) 187º 15’ – 144º = 43º 15’.

Un quintil natal aparece como una conjunción en el armónico 5.

Además de las listas ordenadas armónicas, hay otra propuesta global para los armónicos sugerida por Addey. Se superponen las posiciones y, a continuación, se expande la lista ordenada para cubrir de nuevo los 360º. Así, la lista ordenada se convierte en una carta armónica que puede leerse como cualquier otra carta. Si ya se dispone de una lista ordenada armónica, las longitudes para una carta armónica se obtienen multiplicando las posiciones ordenadas por el número del armónico. (S * H = HL) (Por ejemplo, Vesta de Nixon: 43º * 5 = 215º = 5 Escorpio).

Si aún no se dispone de una lista ordenada, pueden obtenerse las posiciones armónicas directamente sin ordenación. Multiplique la longitud natal por el número del armónico para obtener la longitud armónica (L*H=HL). Si la longitud armónica (HL) es menor de 360º ese es el resultado final. Si es mayor de 360º, reste 360º (repetidas veces, si fuera necesario) hasta que quede por debajo de 360º. Si se trabaja a mano será muy útil una tabla de múltiplos de 360º. Con una calculadora una técnica como la utilizada en las listas ordenadas deja los resultados en su propio rango. HL/360= Temporal (T). T – int(T) = Resto (R). R * 360 = HL. (Por ejemplo, Nodo Sur de Nixon : 187,25 * 5 = 936,25 – 720 = 216,25 = 6 Escorpio 15).

Cómo leer las cartas armónicas obtenidas por este procedimiento es todavía una cuestión abierta.

Comienzos/finales de ciclo armónico
y múltiplos de 360.

Una nota sobre el lenguaje: Todas las matemáticas usadas en este artículo funcionan igual de bien con números enteros como con los que no lo son. Sin embargo, cuando usamos números no-enteros los resultados no deberían llamarse propiamente armónicos. Los armónicos, por definición, implican relaciones de números enteros con el ciclo fundamental –un número entero de ciclos más pequeños se completa por cada ciclo principal. Por tanto, si las matemáticas de los armónicos producen resultados con números no-enteros, necesitamos un nuevo nombre para estos resultados. Yo he estado usando el término “factor de expansión”, pero es complicado y preferiría un término mejor. Una forma de “armónico” no-entero, actualmente en experimentación, es el uso del arco solar como número armónico para un acontecimiento. El arco solar se multiplica por las posiciones natales en lugar de sumarse a ellas. La apertura de los “armónicos” al campo de los no-enteros agudiza el problema de la proliferación de cartas. Los armónicos propiamente dichos añaden ya docenas de nuevas cartas. Los factores de expansión pueden crear un número infinito de nuevas cartas.

Cuando se calcula una serie de cartas armónicas al estilo de Addey para una persona, se puede ver que las posiciones cambian sistemáticamente de un armónico al siguiente. Describiré el comportamiento de los números sin entrar en la interpretación de su significado.

Cuando se incrementa el número armónico en una unidad, la posición armónica se mueve hacia adelante en el zodíaco tantos grados como incluye la longitud absoluta natal. Para una posición natal (armónico 1) de 30º, la posición en el armónico 2 es 60º, en el 3 es 90º, en el 4 es 120º y así sucesivamente. Este cambio desde cada armónico al siguiente es simplemente el desarrollo de la multiplicación producida por la sucesiva adición de armónicos.

Si la longitud natal está comprendida entre 0º y 180º, esta adición parecerá incrementar la longitud con los sucesivos armónicos. Sin embargo. si la longitud natal está entre 180º y 360º, las posiciones armónicas sucesivas mostrarán longitud decreciente. Por ejemplo, una posición natal a 330º en el segundo armónico será de 300º (660º) y en el tercer armónico 270º (990º) y así sucesivamente. Los números entre paréntesis son los resultados directos de multiplicar por el número armónico (antes de restar los conjuntos sobrantes de 360º) –se puede ver que éstos se incrementan. Las posiciones armónicas decrecen porque el verdadero incremento en cada paso se acerca a un círculo completo. La cantidad de decrecimiento aparente equivale a la distancia que separa la posición natal del final del zodíaco.

Cuanto más cerca esté una posición natal del comienzo o del final del zodíaco, menos cambiará de un armónico al siguiente. Las posiciones que más cambian son las que están en el medio. Por ejemplo, una posición natal a 180º alcanzará 0º en el armónico 2, 180º en el 3, 0º en el 4 y así sucesivamente. Irá de un lado a otro del zodíaco cada vez. En contraste, una posición a 0º se mantiene a 0º en cada armónico.

Para resumir el movimiento aparente desde un armónico al siguiente: A las longitudes por debajo de 180º se les suma la longitud natal cada vez. A las longitudes mayores de 180º se les resta cada vez su distancia hasta el final del zodíaco. Las longitudes cercanas a 0º ó 360º cambian lentamente. Las longitudes próximas a 180º cambian rápidamente.

Las siguientes breves listas muestran posiciones natales (armónico 1) a través de los 5 primeros armónicos partiendo de diferentes lugares del zodíaco:

1, 2, 3, 4, 5.

90, 180, 270, 360 (0), 90.

179, 358, 177, 356, 175.

181, 2, 183, 4, 185.

270, 180, 90, 0, 270.

359, 358, 357, 356, 355.

Para los factores de expansión no-enteros la posición cambiará por valor de la fracción de la longitud natal que el factor indique. Si el incremento del factor es de 0,1 se sumará 0,1 de la longitud natal a la posición expandida. Por ejemplo, 30º*2,1=63º; 30º*2,2 = 66º. Dado que entre dos enteros caben muchas diferentes fracciones decimales, los factores de expansión pueden saltar bastante dramáticamente entre armónicos enteros sucesivos. Por ejemplo, el Sol de Nixon para los armónicos 61, 62 y 63 está a 13 Aries 32, 2 Acuario 57 y 22 Escorpio 21, mientras que el arco solar de 62,229 para su dimisión produce un factor de expansión del Sol a 9 Aries 12. Las posiciones armónicas enteras retroceden regularmente, mientras que la posición del factor de expansión salta.

Los ángulos entre factores también cambian sistemáticamente entre armónicos enteros sucesivos. Las separaciones angulares se incrementan cada vez por valor de la separación natal, del mismo modo que las posiciones se incrementan por la longitud natal (de hecho, debido a los cambios de posición). Una separación natal de 1º se transforma, en sucesivos armónicos, en 2º, 3º, 4º, etc. Una conjunción natal permanece como conjunción, pero con un orbe creciente. Al igual que sucede con las posiciones natales, las separaciones angulares natales próximas a 0º cambian lentamente, y las cercanas a 180º saltan de un lado a otro.

Si la separación natal es exactamente 180º (una oposición), tal como sucede con cualquier eje de ángulos o con los nodos de la Luna, en los armónicos sucesivos se alternarán conjunciones y oposiciones. En todos los armónicos pares, los ejes natales formados por dos puntos en oposición exacta aparecerán como conjunciones. En todos los armónicos impares, esos ejes se mostrarán de nuevo como oposiciones. Por ejemplo, las posiciones natales de 4º y 184º llegarán a ser 8º y 8º (368º), 12º y 192º (552), 16º y 16º (736), y así sucesivamente. Si una oposición natal es cerrada, pero no exacta, el comportamiento será similar, pero las posiciones se irán separando gradualmente.

He tratado de describir las “travesuras” de los armónicos bajo el punto de vista puramente matemático, sin pretender que ese comportamiento sea de gran significado astrológico (¡Mira, su Sol va hacia atrás!”, etc.)

Esto es algo de lo que se está haciendo en el campo de los armónicos en astrología. Con las técnicas descritas, se puede generar todo un nuevo conjunto de cartas para experimentar con ellas. Sin embargo, eso puede consumir mucho tiempo que podría ser mejor empleado; por eso sugiero que deje que una computadora haga tanto trabajo matemático como sea posible. Astro Computing Services, que se acaba de mudar de Pelham, NY a San Diego, CA, ofrece varios servicios de armónicos. Por un dólar calculan una lista ordenada armónica de planetas y puntos medios para un divisor entero del círculo. Las posiciones se imprimen con la proporcionalidad adecuada para que las agrupaciones sean más fáciles de ver. Ofrecen una lista de posiciones para 30 armónicos consecutivos por un dólar. Ofrecen una carta armónica en formato de gran rueda por un dólar. Añaden un dólar de gastos de envío por cada encargo. Su nueva dirección es Astro Computing Services; PO Box 16297; San Diego, CA 92116. De momento no ofrecen ningún cálculo de armónicos no-enteros, porque eso es todavía muy nuevo y experimental.

¡Diviértase explorando esta nueva área!

Mark Pottenger, 1978.